LŨY THỪA

LŨY THỪA

I- KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Trước khi bắt đầu, xin nhấn mạnh rằng đây là một khái niệm đơn giản, xin kể cho các bạn nghe một câu chuyện cổ có liên quan đến lũy thừa

" Có một vị vua nọ muốn tìm người tài để giúp ông giải quyết một công việc trọng đại và hứa sẽ ban thưởng hậu hĩnh nếu hoàn thành được xuất xắc nhiệm vụ. Ông ta tìm kiếm và cuối cùng cũng tìm được một chàng trai nọ, chàng trai này có biệt hiệu là Quách Lão Tiên Sinh. Sau khi hoàn thành xuất sắc công việc, ông vua hỏi:

• Này chàng trai trẻ, cậu muốn ta thưởng cho cậu thứ gì cho thực xứng đáng với công sức bỏ ra của cậu đây ?
• Thưa đức vua đáng mến, thảo dân chỉ xin ngài một cái bàn cờ và xin ngài hãy đặt vào đó những hạt gạo 
• Đơn giản vậy sao? Thế cậu muốn ta đặt chúng như thế nào? Ta có cả kho gạo to lớn, bàn cờ nhỏ bé ấy chẳng là gì khó khăn với ta cả
• Dạ thưa đức vua, con muốn ô thứ nhất 2 hạt, ô thứ hai 4 hạt, ô thứ ba 8 hạt ..... 

Chẳng hiểu sao nhà vua lại đồng ý....kết quả là ông ta vét cạn cả rất rất nhiều kho gạo mới đủ trả công cho chàng thanh niên ấy

Trên đây là một câu chuyện về lũy thừa với cơ số 2, dãy số mà ta đề cập là 2,4,8,16,32....

ĐỊNH NGHĨA

a là số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a, n là số nguyên dương

a^n=a.a.a....a (n thừa số a)

Thực ra chúng ta đã gặp hình ảnh của lũy thừa rất nhiều lần, các hằng đẳng thức mà chúng ta học thuộc chính là hình ảnh của lũy thừa, và như vậy, lũy thừa là một hình ảnh quen thuộc, tuy nhiên nếu để ý thêm một vài điều kiện nữa về lũy thừa có lẽ sẽ có nhiều ích lợi!

Cụ thể, mặc dù  a là số thực, tuy nhiên số 0 trở nên đặc biệt trong một vài trường hợp sau đây

• 0^0: không mũ không là không có nghĩa 
• 0^(-n) cũng không có nghĩa, thực ra ở dòng này một số bạn sẽ có thể khó hiểu, mình xin phép giải thích. Dòng này nói đơn giản có nghĩa là: " 0 mũ âm hổng có nghĩa". Với n là số nguyên dương 0^(-n) = 1 / 0^n = 1 / 0 (phép chia cho số 0 thì không có nghĩa)

Chú ý, với n nguyên dương. a^(-n) = 1 / a^n

2. Căn bậc n

Cho số nguyên dương n, phương trình a^n = b

• Nếu ta biết a, việc tính b là dễ dàng
• Nếu ngược lại, lúc này ta biết b, bài toán đặt ra là a bằng bao nhiêu

Xét ví dụ sau: 

• a^2 = 4. Hỏi các căn bậc 2 của 4 là bao nhiêu??? ( ở đây căn bậc 2 của 4 là nghiệm của phương trình vừa nêu). Như vậy a có thể nhận giá trị {-2,2}
• Cho số thực b và số nguyên dương n (n>=2). Số a được gọi là căn bậc n của b nếu a^n = b.

Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm phương trình x^n = b, ta có

• Với n lẻ và b là số thực thì tồn tại duy nhất một căn bậc n của b
• Với n chẵn, như ở ví dụ trên khi b>0 thì tồn tại hai căn trái dấu ( ở đây là -2 và +2), khi b = 0 thì rõ ràng có một kết quả là 0, còn khi b<0 thì không có căn bậc n

Như vậy, những căn bậc n có những tính chất nào ?

Các tính chất đã được liệt kê chi tiết ở SgK trang 51,52 tuy nhiên xin phép tóm gọn lại bằng câu "khẩu quyết" để mọi người học thuộc:

• Nếu là căn cùng bậc, có thể gộp lại ở các phát biểu dạng tích và thương
• Hai n và k căn lồng nhau là căn với  bậc là n.k 
• trường hợp đặc biệt: b = a^n. Ta chỉ cần chú ý căn bậc n của a là trị tuyệt đối của a khi n chẵn

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Đây là dạng kết hợp của hai phần trên, số hữu tỉ có dạng là m / n, khi đó ta khảo sát a^(m/n)

• m ở tử nên m là đại diện cho lũy thừa mũ m. 
• n ở mẫu nên n đại diện cho căn bậc n

Gộp lại  a^(m/n) được phát biểu là " căn bậc n của a mũ m "

Các điều kiện ở lũy thừa, ở căn được bê nguyên si :p Vẫn là n>=2, vẫn là những trường hợp đặc biệt dành cho số 0. 

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Chúng ta sẽ không đào sâu nghiên cứu về chủ đề này. Nó không xuất hiện nhiều trong các dạng toán phổ thông mà cho dù có xuất hiện thì máy tính bỏ túi là công cụ hỗ trợ rất đắc lực. Định nghĩa của lũy thừa bậc n liên quan đến giới hạn, nhìn chắc phức tạp đấy, nên thôi mình hiểu đơn giản là thay vì số tự nhiên, nó là số vô tỉ như căn 2, căn 3 gì đó....Tóm lại là kệ cha nó :p 

5. Các tính chất của một hàm lũy thừa

Ở phần này ta sẽ xét các tính chất liên quan đến Đẳng thức và Bất đẳng thức ứng với hàm số mũ

Do tác giả khoái Bất Đẳng Thức hơn nên sẽ viết về phần này trước:

• Các bất đẳng thức này là các bất đẳng thức có cùng cơ số, với cơ số là a ta có 2 trường hợp
• a > 1: khi đó a^x > a^y  <=>  x > y
• a < 1: khi đó a^x > a^y  <=>  x < y
• Ta thấy rằng 
• Trường hợp a > 1 là trường hợp thông thường hay gặp, mà những năm lớp 6,7 ta thường được thấy, nghe, viết 2^3 > 2^2 bởi vì 3 > 2
• Trường hợp a < 1 có lẽ được xếp  vào trường hợp lạ, và do đó kết quả thu được cũng lạ "không kém", thực ra chỉ là đảo ngược lại so với trường hợp thông thường mà thôi

Các tính chất liên quan đến Đẳng Thức hàm số mũ thực được đề cập ở chương trình ở các lớp dưới, nhưng khi đó là dưới dạng số chẳng hạn (2^3) .(2^2) = 2^(3+2) = 2^5. Nhìn chung, việc ghi nhớ các đẳng thức này không khó, ta thường xuyên dùng nó trong các biến đổi đại số thường ngày trong các lớp bài toán về phương trình. bất đẳng thức, đồ thị,.... mọi nơi.....

Các bạn có thể tham khảo tại trang 54 SGK 

Hãy xem định nghĩa lũy thừa trên google nó phức tạp như thế nào !!!