CỰC TRỊ HÀM SỐ

CỰC TRỊ HÀM SỐ

I - KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

I.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a,b tiến tới vô cùng)

xo thuộc khoảng (a;b), khi đó:

a). Nếu tồn tại h > 0 sao cho với mọi x thuộc (xo -h; xo + h) và x khác xo mà f(x) < f(xo) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại xo.

b). Nếu tồn tại h > 0 sao cho với mọi x thuộc (xo -h; xo + h) và x khác xo mà f(x) > f(xo) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại xo.

Giải thích định nghĩa: Đối với một vài bạn, định nghĩa này có thể sẽ khó để cắt nghĩa vì bởi lẽ dạng phát biểu của nó có phần lạ và khó hiểu. Để hiểu rõ, ta sẽ chia nhỏ phát biểu trên, chú ý rằng chúng ta chỉ xem xét mênh đề a (mệnh đề b hoàn toàn tương tự )

Trước tiên ta phải có một hình ảnh trực quan về CỰC ĐẠI, bạn xem hình sau đây:

Ở đây chúng ta quan sát thấy điểm A. ( A còn được gọi là "đỉnh đồi" hay sao ấy - theo một tài liệu nào đó mà mình đọc được). Về trực quan mà nói một điểm cực đại rất dễ nhận ra (bạn có thể hình dung nó là đỉnh của một ngọn đồi ~~ giống như mình)

Sau khi đã có hình ảnh trực quan, ta đi ta đi làm rõ vai trò của h trong mệnh đề trên!

Mình có 3 dấu chấm cần phân tích với bạn

•  h > 0  là để hợp lý hóa cho khoảng (xo -h; xo + h) (tức là xo - h < xo + h ) 
•  x thuộc (xo -h; xo + h) và x khác xo mà f(x) < f(xo) ta có thể ví dụ như xo = 0, h = -1 thì mọi x thuộc (-1;1) đều cho f(x) < f(0) với x khác 0. ( nghĩa là f(-1), f(-0,5), f(0,2).... đều nhỏ hơn f(0)). thành thử f(xo) lúc này là lớn nhất trong khoảng (xo -h; xo + h)
• tồn tại h : đây là chìa khóa còn lại và mấu chốt trong phát biểu trên, các bạn quan sát hình sau

Các bạn chú ý vào điểm C, nếu so sánh với điểm A thì điểm C có vị trí cao hơn hẳn điểm A, nhưng người ta không gọi C(c,Yc) là điểm cực đại vì không thể nào tồn tại h > 0 để thỏa dấu chấm thứ 2 được. Tức là sẽ không có đỉnh đồi, cứ lên quoài mà chả chịu xuống. Còn đối với A thì "có lên, có xuống"

I.2 CHÚ Ý

Nếu A(x,y) là một điểm cực đại lúc đó:

- x được gọi là điểm cực đại

- y được gọi là giá trị cực đại

Tương tự đối với trường hợp A(x,y) là điểm cực tiểu

Theo tóm lược sách giáo khoa trang 14 là như vậy, ở đây mình cũng thấy hơi .... hơi...không ổn, cùng tên gọi là "điểm cực đại" nhưng lại dùng cho cả hai đối tượng là x và A . Còn về phần y thì gọi là giá trị cực đại rồi nên không thắc mắc. Có lẽ là vì x mang ý nghĩa thuần đại số trong khi A mang ý nghĩa thuần hình học, hoặc cũng có thể khác ? Bạn nào có ý kiến comment nhé!

Một chú ý khá quan trọng mà không thể quên được

f(x) có đạo hàm trên (a,b), f(x) đạt cực trị tại x =xo thì f'(xo) = 0.

Ta dùng tính chất trên để tìm các điểm cực trị

II - ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Cái nầy học thuộc nhé, hổng cần chứng minh đâu, mình xin nhắc lại định lý như sau

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K= (xo-h, xo+h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{xo}, với h > 0

a). Nếu f'(x) >0 trên (xo - h, xo) và f'(x) <0 trên khoảng (xo,xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b). Nếu f'(x)<0 trên (xo - h, xo) và f'(x) >0 trên khoảng (xo,xo + h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f(x)

Bạn có thể hiểu được dễ dàng định lý trên thông qua hình minh họa một trường hợp ở dưới

Ta đến với định lý tiếp theo khá quan trọng

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (xo-h,xo+h) với h>0. Khi đó:

a) Nếu f'(xo) = 0, f''(xo)>0 thì xo là điểm cực tiểu

a) Nếu f'(xo) = 0, f''(xo)<0 thì xo là điểm cực đại

Theo ý kiến chủ quan của mình thì cả hai định lý trên khá dễ hiểu, các bạn có thể thuộc được dễ dàng. Và theo kinh nghiệm thì có vẻ định lý 2 ít dùng hơn so với định lý đầu tiên vì nó yêu cầu thêm rằng phải có điều kiện của tập xác định để thỏa tồn tại đạo hàm cấp hai. Tuy nhiên mình sẽ độ môt câu khẩu quyết dành cho các bạn khó nhớ định lý thứ 2. Đó là

a) > tiểu 

b) < đại

Chú giải: muốn đạt cực trị thì dĩ nhiên f'(xo) = 0 rồi, khỏi phải bàn cãi, vần đề là nhớ dấu của f''(xo) so với 0, khi nào thì đạt cực tiểu, khi nào thì đạt cực đại

" Lớn hơn tiểu (nhỏ,xíu)

  Nhỏ hơn đại (lớn,bự)"

Ngày xưa, có một cậu bạn vẫn hay ghẹo mình mỗi khi giảng bài cho nó:

"Lớn thì đái

Nhỏ thì ị"

Giải trí thôi nhé, hì hì :)